Parité d'une fonction

Définition  

Soit \(\text I\) une partie de \(\mathbb R\) .
On dit que \(\text I\) est symétrique par rapport à  \(0\) si et seulement si, pour tout \(x\) dans \(\text I\) , \(-x\) est aussi dans \(\text I\) .

Remarque

Soit  \(a\) et \(b\) deux réels positifs avec \(a>b\) . Les parties de  \(\mathbb R\) suivantes sont des parties symétriques par rapport à \(0\) : \(\text I=\mathbb R\) , \(\text{I}=[-a;a]\) ,   \(\text{I}=]-a;a[\) ,   \(\text{I}=[-a;-b] \cup [b;a]\) ,   \(\text{I}=]-a;-b[\cup]b;a[\) ,   \(\text{I}=]-a;-b]\cup[b;a[\) ,   \(\text{I}=[-a;-b[\cup]b;a]\) .  

Définition  

Soit \(f\)  une fonction définie sur \(\text I\) , symétrique par rapport à \(0\) .

• La fonction \(f\)  est paire sur \(\text{I}\)   si, pour tout  \(x\in\text{I}\) ,  \(f(-x)=f(x)\) . 
  
• La fonction \(f\)  est impaire sur \(\text{I}\)   si, pour tout  \(x\in\text{I}\) ,  \(f(-x)=-f(x)\) . 
  

Exemples

• La fonction carré est paire. En effet, pour tout  \(x\) dans  \(\mathbb R\) ,  \(f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)\) .
  
• La fonction cube est impaire. En effet, pour tout \(x\) dans \(\mathbb R\) ,   \(f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)\) .
  

Remarques

Le plan est muni d'un repère orthonormé.

• La courbe représentative d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
  
• La courbe représentative d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine du repère.
  

Exemples

Les figures suivantes montrent les courbes représentatives des fonctions carrée et cube dans un repère orthonormé.